Axioms of Probability

확률의 공리
공리 : 진리값이 TRUE임이 너무나 자명해 증명할 필요조차 없는 명제

Axiom 1

\forall A\ \subset \ S\ ,\ \ P\left(A\right)\ \ge \ 0

S: Sample Space
S의 부분집합인 모든 A에대해 사건 A가 일어날 확률은 0보다 큽니다.

Axiom 2

P\left(S\right)\ =\ 1

Sample Space인 S는 시행의 모든 결과를 뜻하므로 S는 항상 발생합니다.
때문에, S가 일어날 확률은 1입니다.

Axiom 3

For every countable sequence of mutually exclusive events Ai

P\left(\bigcup _{i\ =\ 1}^{\infty }{A}_i\right)\ =\ \sum _{i\ =\ 1}^{\infty }P\left({A}_i\right)

A1, A2, ..., An이 모두 상호배타적(서로소, 겹치는 부분이 없음)이면
당연히 같습니다.

공리를 통해 확률 성질 증명

※ P(A^c) = 1 - P(A)

Sample Space S에 대해,
S = A ∪ A^c 으로 partitioning 가능하므로
axiom 3에 의해 P(S) = P(A ∪ A^c) = P(A) + P(A^c) 이다.
axiom 2에 의해 P(S) = 1 이므로,

P(S) = 1 = P(A) + P(A^c)
P(A^c) = 1 - P(A) 가 성립한다.

※ if A ⊂ B, P(A) ≤ P(B)

집합 C를 C ∩ A = Ø, A ∪ C = B 라고 할 때,
axiom 3에 의해 P(B) = P(A ∪ C) = P(A) + P(C) 이다.
axiom 1에 의해 P(C) >= 0 이므로 P(B) >= P(A) 가 성립한다.

※ 0 ≤ P(A) ≤ 1

axiom 1에 의해 P(A) >= 0 이 성립한다.
Sample Space S에 대해 S = A ∪ A^c 로 Partitioning 가능하므로
axiom 3에 의해 P(S) = P(A ∪ A^c) = P(A) + P(A^c) 이고
axiom 2에 의해 P(S) = 1이고 axiom 1에 의해 P(A^c) >= 0 이므로
P(S) = 1 >= P(A) 가 성립한다.

즉 0 <= P(A) <= 1 이 성립한다.

※ P(A ∩ B^c) = P(A) - P(A ∩ B)

A = (A ∩ B^c) ∪ (A ∩ B) 로 Partitioning 가능하므로
axiom 3에 의해 P(A) = P((A ∩ B^c) ∪ (A ∩ B)) = P(A ∩ B^c) + P(A ∩ B) 이고,
정리하면 P(A ∩ B^c) = P(A) - P(A ∩ B) 이 성립한다.

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